平面向量在数学里特别重要，掌握它的公式和性质，能让解题更轻松。下面给大家详细讲讲平面向量的公式和本质。
向量加法公式
向量加法有坐标运算和几何意义。在坐标表示中，若向量\(a = (x, y)\)，向量\(b = (x', y')\)，那\(a + b = (x + x', y + y')\)。比如\(a=(1,2)\)，\(b=(3,4)\)，则\(a + b=(1 + 3,2 + 4)=(4,6)\)。在几何上，可通过平行四边形法则或三角形法则来理解，把两个向量首尾相连，从起点到终点的向量就是和向量。
向量减法公式
向量减法和加法类似。若向量\(a\)和\(b\)互为相反向量，\(a - b = -b\) ，且\(AB - AC = CB\)。在坐标表示中，向量\(a = (x, y)\)，向量\(b = (x', y')\)，则\(a - b = (x - x', y - y')\)。比如\(a=(5,6)\)，\(b=(2,3)\)，那么\(a - b=(5 - 2,6 - 3)=(3,3)\)。几何方面，把两个向量起点重合，连接终点，方向指向被减向量的就是差向量。
数乘向量公式
实数\(λ\)与向量\(a\)的乘积是向量，记作\(λa\)。坐标表示下，向量\(a = (x, y)\)，则\(λa = (λx, λy)\)。例如向量\(a=(1,1)\)，\(λ = 3\)，那么\(λa=(3×1,3×1)=(3,3)\) 。数乘向量会改变向量大小，当\(λ>0\)时方向不变，\(λ<0\)时方向相反。
向量数量积公式
两个向量的数量积是标量，记作\(a · b\)。坐标表示为若向量\(a = (x, y)\)，向量\(b = (x', y')\)，则\(a · b = x · x' + y · y'\)。比如\(a=(2,3)\)，\(b=(4,5)\)，\(a · b=2×4 + 3×5 = 8 + 15 = 23\)。数量积还等于两向量大小乘以夹角余弦值，能用来算向量投影、夹角和长度。
平面向量基本定理
同一平面内任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合。比如在平面直角坐标系里，向量都能用\(i=(1,0)\)和\(j=(0,1)\)线性表示。它是向量坐标表示的基础，有了它向量才能用坐标表示，也为解题提供了理论依据。
平面向量的本质
平面向量是既有大小又有方向的量，用带箭头线段表示，箭头方向是向量方向，线段长度是向量大小。它本质是几何对象，能描述物体在平面上的运动和位置。像物体在平面运动，向量方向是运动方向，大小是运动速度；物体位置可用向量表示，起点是起始位置，终点是最终位置。而且向量能进行加减和内积运算。
总结：今天我们学习了平面向量的加法、减法、数乘、数量积公式，还有平面向量基本定理，也了解了它的本质。大家要把这些公式记牢，多做些题巩固。平面向量在物理、工程等领域应用广泛，掌握好它对后续学习帮助很大。
大家想想，平面向量在生活中还有哪些具体应用呢？
